期中模拟测试卷数学分析答案
题目1：求函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ 的极值点。
解：对函数求导得 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令导数为零，得 $ x = \pm 1 $。通过二阶导数或列表法判断，$ x = -1 $ 是极大值点，$ x = 1 $ 是极小值点。
题目2：计算定积分 $ \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx $。
解：原式可化为 $ \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{14}{3} $。
题目3：设 $ y = \ln(x^2 + 1) $，求 $ \frac{dy}{dx} $。
解：利用链式法则，导数为 $ \frac{2x}{x^2 + 1} $。
题目4：讨论函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} $ 的间断点类型。
解：函数在 $ x = \pm 1 $ 处无定义，属于第二类间断点（无穷间断点）。
题目5：求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $。
解：这是一个经典极限，结果为 1。
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