试卷说明
这是一份高一数学期末模拟试卷，包含选择题、填空题和解答题，涵盖了本学期的主要知识点。通过这份试卷，你可以更好地了解自己的学习情况，并为即将到来的考试做好充分准备。
试卷题目
1. 已知集合 A = {x | x² - 4x + 3 = 0}，求集合 A 的元素个数。
解：方程 x² - 4x + 3 = 0 可以因式分解为 (x - 1)(x - 3) = 0，因此解为 x = 1 和 x = 3，所以集合 A 有两个元素。
2. 求函数 f(x) = 2x² - 4x + 5 的最小值。
解：该函数是一个二次函数，开口向上，顶点处取得最小值。顶点横坐标为 x = -b/(2a) = 4/(2×2) = 1，代入得 f(1) = 2(1)² - 4(1) + 5 = 3，因此最小值是 3。
3. 解不等式 3x - 2 > 4x + 1。
解：移项得 -x > 3，两边同时乘以 -1（注意不等号方向改变），得到 x < -3。
4. 已知向量 a = (2, 3)，向量 b = (-1, 4)，求 a · b。
解：向量点积公式为 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = 2×(-1) + 3×4 = -2 + 12 = 10。
5. 计算 sin(π/6) 的值。
解：sin(π/6) = 1/2。
6. 设函数 f(x) = log₂(x + 1)，求 f(3) 的值。
解：将 x = 3 代入得 f(3) = log₂(3 + 1) = log₂(4) = 2。
7. 已知三角形 ABC 中，角 A = 60°，边 BC = 4，边 AB = 3，求边 AC 的长度。
解：使用余弦定理：AC² = AB² + BC² - 2×AB×BC×cos(A) = 3² + 4² - 2×3×4×cos(60°) = 9 + 16 - 24×0.5 = 25 - 12 = 13，因此 AC = √13。
8. 解方程 log₃(x) + log₃(x - 2) = 2。
解：利用对数性质合并得 log₃[x(x - 2)] = 2，即 x(x - 2) = 3² = 9，展开得 x² - 2x - 9 = 0，解得 x = [2 ± √(4 + 36)] / 2 = [2 ± √40]/2 = [2 ± 2√10]/2 = 1 ± √10。由于 x > 2，故只取 x = 1 + √10。
9. 若直线 l 的斜率为 2，且过点 (1, 3)，求直线 l 的方程。
解：直线方程为 y - y₁ = k(x - x₁)，代入得 y - 3 = 2(x - 1)，化简为 y = 2x + 1。
10. 已知圆心在原点，半径为 5 的圆，求圆上一点 P(3, 4) 是否在圆上。
解：圆的标准方程为 x² + y² = r²，代入得 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²，因此点 P 在圆上。
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