九年级数学期中模拟试卷二次函数分析

九年级数学期中模拟试卷 - 二次函数分析

一、选择题

1. 已知抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点在原点，则下列说法正确的是？
A. a = 0
B. b = 0
C. c = 0
D. b 和 c 都为零

答案：D

二、填空题

2. 抛物线 y = x² - 4x + 3 的顶点坐标是 ______。

答案：(2, -1)

三、解答题

3. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像经过点 (1, 2)，且顶点为 (2, -1)，求该函数的解析式。

解：设函数为 y = a(x - 2)² - 1，代入点 (1, 2)，得 2 = a(1 - 2)² - 1 → a = 3，所以解析式为 y = 3(x - 2)² - 1。

四、应用题

4. 某商品的利润 y（元）与销售数量 x（件）之间的关系为 y = -x² + 20x - 50。求当利润最大时的销售数量和最大利润。

解：利用顶点公式，x = -b/(2a) = -20/(2×(-1)) = 10，代入得 y = -100 + 200 - 50 = 50 元，即当销售数量为 10 件时，利润最大为 50 元。

五、综合题

5. 设二次函数 f(x) = x² + px + q 的图像与 x 轴交于两点 A 和 B，且 AB 的长度为 4，求 p 和 q 的值。

解：由根与系数关系得 |x₁ - x₂| = √[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂] = √[p² - 4q] = 4，因此 p² - 4q = 16。可以有多个解，如 p = 0，q = -4；p = 4，q = 0 等。

六、简答题

6. 什么是二次函数的开口方向？如何判断？

答：二次函数 y = ax² + bx + c 的开口方向由 a 决定。若 a > 0，开口向上；若 a < 0，开口向下。

七、分析题

7. 画出函数 y = -x² + 2x + 3 的图像，并说明其顶点、对称轴、与 x 轴的交点等关键信息。

解：顶点为 (1, 4)，对称轴为 x = 1，与 x 轴交于 (-1, 0) 和 (3, 0)。

八、计算题

8. 计算函数 y = 2x² - 4x + 1 在 x = 3 处的函数值。

解：代入得 y = 2×9 - 4×3 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7。

九、判断题

9. 若一个二次函数的判别式小于零，则它的图像与 x 轴没有交点。（）

答案：正确

十、拓展题

10. 已知二次函数的图像经过点 (0, 3)、(2, 3)、(1, 0)，求该函数的解析式。

解：设函数为 y = ax² + bx + c，代入三点可得方程组，解得 a = -1，b = 2，c = 3，所以解析式为 y = -x² + 2x + 3。