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1. 选择题（每题4分，共20分）

1. 下列哪一个不是矩阵的性质？
A. 交换律
B. 结合律
C. 分配律
D. 反身性

2. 行列式的值为零时，矩阵是：
A. 可逆的
B. 不可逆的
C. 对称的
D. 正交的

3. 设A是一个n阶方阵，若其秩为n，则A是：
A. 单位矩阵
B. 零矩阵
C. 可逆矩阵
D. 不可逆矩阵

4. 特征值的定义是：
A. 使得Ax = λx成立的λ
B. 使得Ax = 0成立的x
C. 使得Ax = x成立的λ
D. 使得Ax = 1成立的x

5. 若A是正定矩阵，则它的所有特征值是：
A. 负数
B. 正数
C. 零
D. 实数

2. 填空题（每题5分，共20分）

1. 矩阵的转置满足 ________ 性质。

2. 若矩阵A的行列式不为零，则A是 ________ 矩阵。

3. 设A是n阶矩阵，若存在非零向量x，使得Ax = 0，则A的秩小于 ________。

4. 若矩阵A的特征值为λ₁, λ₂, ..., λₙ，则其迹为 ________。

3. 计算题（每题10分，共30分）

1. 计算下列矩阵的行列式：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} $$

2. 求矩阵A的逆矩阵，其中：

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

3. 求矩阵A的特征值和特征向量：

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix} $$

4. 证明题（每题10分，共20分）

1. 证明：若A是对称矩阵，则其特征值都是实数。

2. 证明：若A是可逆矩阵，则其行列式不为零。