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亲爱的考生朋友们，你是不是正在为2009年考研数学而紧张准备？别担心，我们为你准备了这份精心设计的《2009考研数学模拟试卷》，让你在实战中提升应试能力，查漏补缺，稳步提升成绩。
本套试卷严格按照2009年考研数学大纲编写，涵盖高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大科目。题目类型包括选择题、填空题、计算题和证明题，题型丰富，难度适中，既贴近真题风格，又具备一定的挑战性。
1. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值点是？
A. $ x = 1 $
B. $ x = -1 $
C. $ x = 0 $
D. $ x = \pm1 $
2. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $, $ \vec{b} = (-1, 3) $, 则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = $ ?
A. 5
B. 1
C. -1
D. 2
1. 设 $ f(x) = \ln(x + 1) $，则 $ f'(0) = $ ______。
2. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解为 ______。
1. 计算定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 e^x dx $。
2. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调区间和极值。
1. 证明：若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $ f(x) $ 在该区间上必有最大值和最小值。
2. 设 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处可导，且 $ f(0) = 0 $，证明：$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) $。
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